6.8 成对度量,近似关系和内核

sklearn.metrics.pairwise子模块工具的实用程序,以评估成对距离或样品集的近似关系。

该模块包含距离度量和内核。这里对两者进行了简要总结。

距离度量函数d(a, b),如果对象ab被认为比对象ac更相似 ,则d(a, b) < d(a, c)。两个完全相同的对象的距离为零。最受欢迎的例子之一是欧几里得距离。要成为“真实”指标,它必须满足以下四个条件:

1. d(a, b) >= 0for all a and b
2. d(a, b) == 0if and only if a = b, positive definiteness
3. d(a, b) == d(b, a), symmetry
4. d(a, c) <= d(a, b) + d(b, c), the triangle inequality

核是相似度的量度,如果对象ab被视为比对象ac更为“相似” ,那么s(a, b) > s(a, c),内核还必须是正半定数。

在距离度量和相似性度量之间进行转换的方法有很多种,例如核。设D距离,S为内核:

  1. S = np.exp(-D * gamma),其中一个选择 gamma的试探法是1 / num_features
  2. S = 1. / (D / np.max(D))

X的行向量和Y的行向量之间的距离可以使用pairwise_distances进行计算。如果省略Y ,则计算X行向量的成对距离。同样, pairwise.pairwise_kernels可用于使用不同的内核函数计算X 以及Y核。有关更多详细信息,请参见API参考。

>>> import numpy as np
>>> from sklearn.metrics import pairwise_distances
>>> from sklearn.metrics.pairwise import pairwise_kernels
>>> X = np.array([[23], [35], [58]])
>>> Y = np.array([[10], [21]])
>>> pairwise_distances(X, Y, metric='manhattan')
array([[ 4.,  2.],
       [ 7.,  5.],
       [12.10.]])
>>> pairwise_distances(X, metric='manhattan')
array([[0.3.8.],
       [3.0.5.],
       [8.5.0.]])
>>> pairwise_kernels(X, Y, metric='linear')
array([[ 2.,  7.],
       [ 3.11.],
       [ 5.18.]])

6.8.1 余弦相似度

cosine_similarity计算向量的L2正则化点积。也就是说,如果 是行向量,它们的余弦相似度 定义为:

之所以称为余弦相似度,是因为欧几里得(L2)正则化将向量投影到单位球体上,然后它们的点积就是向量表示的点之间的角度的余弦值。

该内核是用于计算以tf-idf向量表示的文档的相似度的普遍选择。cosine_similarity接受 scipy.sparse矩阵。(请注意,sklearn.feature_extraction.text 中的tf-idf函数可以生成规范的向量,在这种情况下,cosine_similarity 等效于linear_kernel,只是速度较慢。)

参考文献:

  • C.D. Manning, P. Raghavan和 H. Schütze (2008). 信息检索简介.剑桥大学出版社。 https://nlp.stanford.edu/IR-book/html/htmledition/the-vector-space-model-for-scoring-1.html

6.8.2 线性核

linear_kernel函数计算线性核,是在 degree=1coef0=0(同质化)情况下的polynomial_kernel的特例。如果xy是列向量,则它们的线性核为:

6.8.3 多项式核

polynomial_kernel函数计算两个向量之间的度数多项式核。多项式核代表两个向量之间的相似性。从概念上讲,多项式内核考虑的不仅是相同维度下向量之间的相似性,还考虑跨维度的。当在机器学习算法中使用时,这可以解决特征交互问题。

多项式内核定义为:

其中:

  • xy是输入向量
  • d 是内核维度

如果 则说该内核是同质的。

6.8.4 Sigmoid核

sigmoid_kernel函数计算两个向量之间的sigmoid核。sigmoid核也称为双曲线正切或多层感知器(因为在神经网络领域,它经常被用作神经元激活函数)。它定义为:

其中

  • xy是输入向量
  • γ 被称为斜率
  • c0 被称为截距

6.8.5 RBF 核

rbf_kernel函数计算两个向量之间的径向基函数(RBF)内核。该内核定义为:

其中xy是输入向量。如果 则该核称为方差的高斯核 。

6.6.6 拉普拉斯核

laplacian_kernel函数是径向基函数内核的一个变体,定义为:

其中xy是输入矢量, 是输入向量之间的曼哈顿距离。

它已被证明在应用于无噪声数据的机器学习中很有用。例如机器学习中的量子力学

6.8.7 卡方核

卡方核是在计算机视觉应用中训练非线性SVM非常受欢迎的选择。可以使用chi2_kernel计算,然后将 kernel="precomputed"传递给 sklearn.svm.SVC

>>> from sklearn.svm import SVC
>>> from sklearn.metrics.pairwise import chi2_kernel
>>> X = [[01], [10], [.2.8], [.7.3]]
>>> y = [0101]
>>> K = chi2_kernel(X, gamma=.5)
>>> K
array([[1.        , 0.367879440.894839320.58364548],
       [0.367879441.        , 0.513417120.83822343],
       [0.894839320.513417121.        , 0.7768366 ],
       [0.583645480.838223430.7768366 , 1.        ]])

>>> svm = SVC(kernel='precomputed').fit(K, y)
>>> svm.predict(K)
array([0101])

它也可以直接用作kernel参数:

>>> svm = SVC(kernel=chi2_kernel).fit(X, y)
>>> svm.predict(X)
array([0101])

卡方核由下式给出

假定数据为非负数,通常将其用L1范数标准化为1。通过与卡方距离的连接来合理化归一化,卡方距离是离散概率分布之间的距离。

卡方核最常用于可视化词汇的直方图(袋)。

参考文献:

  • Zhang, J. and Marszalek, M. and Lazebnik, S. and Schmid, C. Local features and kernels for classification of texture and object categories: A comprehensive study International Journal of Computer Vision 2007 https://research.microsoft.com/en-us/um/people/manik/projects/trade-off/papers/ZhangIJCV06.pdf